一，红黑树介绍

什么是红黑树？为什么需要红黑树？

对数据集合进行 查找、插入、删除、找最大结点、找最小结点、找前驱/后继结点 是一种很常见的需求，那如何找到一种数据结构来高效地实现前面的各个基本操作呢？根据对各种树 进行了的基本介绍。AVL树虽然能保证各种基本操作在O(logN)内实现，但是它的旋转操作复杂，更常用的是红黑树。

红黑树就是一棵特殊的二叉查找树。它能保证在最坏的情况下，上面列出的所有基本操作的时间复杂度为O(logN)

那它是如何做到这一点的呢？下面列出的红黑树的性质就保证了对数时间复杂度。

①每个结点要么是红的，要么是黑的

②根结点是黑的

③每个叶结点(NIL)是黑的--注意：这里的叶结点与平常讨论的树的叶结点不同。这里的叶结点是数据域为NIL的结点，而平常说的叶结点是：它的左右孩子为NIL的结点。

④若结点是红的，则它的儿子都是黑的

⑤对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点

上面的五点性质保证了红黑树的高度是logN，从而，保证了所有的基本操作的时间复杂度是O(logN)

 

二，红黑树为什么能保证各项基本操作的时间复杂度为对数级O(logN)

现在来证明为什么红黑树的高度是logN。

证明：一棵有 n 个内结点的红黑树的高度至多是 2log(n+1)

叶结点：数据域为NIL的结点。内结点(非叶结点)：数据域不为NIL的结点。红黑树中每个结点有五个域(字段)：①颜色  ②数据域(key) ③左指针  ④右指针  ⑤父结点指针

首先定义一个黑高度概念：从某个结点 x 出发，到达一个叶结点的任意一条路径上，黑色结点的个数 称为黑高度。记为 bh(x)

首先用数学归纳法可以证明：以 结点 x 为根的子树中至少包含 2^bh(x) -1 个内结点。

其次，假设红黑树的高度为h（根结点的高度为0），由性质④可知：从根结点(不包括根)到叶结点的任一简单路径上至少有一半的结点是黑色的，从而根的黑高度至少是 h/2

再根据上面数学归纳法的结论：红黑树的根结点的子树中至少包含 2^h/2-1 个内结点。

从而有： n >= 2^h/2 -1，  得出 h <= 2log(n+1)，从而证明了红黑树的高度是O(logN)

这种情况下：n=3，h=1，根的黑高度为1

 

这种情况下：n=15，h=3，根的黑高度为1

 

三，红黑树的基本操作

①插入操作--具体实现细节就不讨论了

插入部分主要分成三大步骤：

第一步：与二叉查找树中插入一个结点类似，将待插入的结点与红黑树中各个结点递归比较，若待插入的结点权值大，则插入到右子树中；若待插入的结点权值小，则插入到左子树中。

第二步：由第一步可知，待插入的结点现在已经放到了红黑树的最后一层，将该结点标记为红色。

第三步：对插入的结点进行调整，以保证红黑树的性质不被破坏。调整主要包括各种旋转操作。而且旋转操作只会改变指针的指向，因此旋转的时间复杂度为O(1)

 

②删除操作

删除一个结点时，也会破坏红黑树的性质，因此，也需要进行调整。具体细节参考《算法导论》